L'utilisation du Nombre d'Or dans la géométrie et surtout dans l'architecture où dans l'art en général n'est plus à démontrer. Nous ne verrons que quelques exemples de son utilisation et surtout de sa présence dans quelques constructions particulières.
On se placera dans le cercle trigonométrique ( c'est à dire un cercle de centre O et de rayon 1 unité ). Si on place deux points non diamétralement opposés sur le cercle, le segment qu'il engendre s'appelle une corde. Sur le dessin : le segment [AB] est une corde engendrée par les demi-droites [OA) et [OB) qui font entre elles un angle alpha ( l'angle α est un angle au centre ).
On a alors les relations suivantes :
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Angle en radian
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Longueur de la corde
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π / 5
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φ - 1 = g
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2π / 5
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Racine carré ( 3 - φ )
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3π / 5
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φ
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4π / 5
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Racine carré ( φ + 2 )
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De la même manière, on retrouvera ainsi φ dans de nombreux polygones réguliers (c'est à dire inscrit dans un cercle de diamètre 1 unité et dont les côtés ont tous même longueur). Par exemple dans le décagone régulier :
Le trait de couleur rouge a une longueur de φ si le cercle a un diamètre de une unité.