Le Nombre d'Or, noté par la lettre grec φ est la solution de l'équation mathématique : x² = x + 1. En résolvant on trouve :
φ = ( racine(5) + 1 ) / 2
En calculant ses puissances successives, on obtient :
φ² = φ + 1 (par définition)
φ³ = 2φ + 1
φ**4 = 3φ + 2
etc ........ Pour généraliser, nous avons :
φ**n = A(n)xφ + B(n) avec A(n) et B(n) deux suites numériques à valeurs entières.
On aura ainsi (je passe sur la démonstration par récurrence de la formule):
A(n+1) = A(n) + B(n) et B(n+1) = A(n)
On note par la lettre g l'inverse de φ, c'est à dire : g = 1 / φ. On aura donc les résultats suivants pour g :
g = 1 / φ = φ - 1
g² = -φ + 2
g³ = 2φ - 3
etc ........ Pour généraliser, nous avons :
g**n = C(n) + D(n), avec C(n) et D(n) deux suites numériques à valeurs entières. On aura :
c(n+1) = D(n) et D(n+1) = C(n) - D(n)
Ces calculs permettent de calculer Phi par valeurs approchées. On va ainsi monter une suite d'entiers qui va tendre vers Phi quand n est grand : Voici quelques valeurs de A, B, C, D en fonction de n .
| n | An | Bn | Cn | Dn |
| 1 | 1 | - | 1 | -1 |
| 2 | 1 | 1 | -1 | 2 |
| 3 | 2 | 1 | 2 | -3 |
| 4 | 3 | 2 | -3 | 5 |
| 5 | 5 | 3 | 5 | -8 |
| 6 | 8 | 5 | -8 | 13 |
| 7 | 13 | 8 | 13 | -21 |
| 8 | 21 | 13 | -21 | 34 |
| 9 | 34 | 21 | 34 | -55 |
| 10 | 55 | 34 | -55 | 89 |
| 11 | 89 | 55 | 89 | -144 |
| 12 | 144 | 89 | -244 | 233 |
| 13 | 233 | 144 | 233 | -377 |
Après quelques autres calculs que je passerais (mais me ferais un plaisir d'envoyer à quiconque m'en ferait la demande), on obtient :
φ = Limite(n tend vers +∞) de | C(n+1) / C(n) |
Voila, c'est fait. J'espère que tout cela ne vous aura pas dégouté des Mathématiques. Dans les prochaines sections, nous verrons plus en détails les applications géométriques de φ, nombre d'or...